1939 წელს დაამთავრა თბილისის სახელმწიფო უნივერსიტეტის ისტორიის ფაკულტეტი. 1944 წელს დაიცვა საკანდიდატო დისერტაცია თემაზე: ,,ურარტუს სამეფოს წარმოქმნა’’. 1946 წლიდან იყო თსუ-ის დოცენტი. 1944-1965 წლებში ისტორიის ინსტიტუტის უფროსი მეცნიერ-თანამშრომელი, ძველი ისტორიის განყოფილების გამგე და დირექტორის მოადგილე სამეცნიერო დარგში. 1954 წელს დაიცვა სადოქტორო დისერტაცია თემაზე: ,,ძველაღმოსავლური მასალები ამიერკავკასიის ხალხთა ისტორიისათვის’’. 1946-1999 წლებში იყო ისტორიის, არქეოლოგიისა და ეთნოგრაფიის ინსტიტუტის დირექტორი. გიორგი მელიქიშვილის ფუნდამენტურმა ნაშრომებმა ძველი აღმოსავლეთის ისტორიისა და ფილოლოგიის დარგში ახალი ეტაპი შექმნეს მსოფლიო ურარტოლოგიაში. ავტორია მრავალი გამოკვლევისა ხურიტების, ხეთების, ასურეთის, ზაგროსის მთიანეთისა და ძველი აღმოსავლეთის სხვა ქვეყნების ისტორიაში. ასურული და ურარტული წერილობით წყაროებზე დაყრდნობით გამოიკვლია უძველესი ქართველური პოლიტიკური გაერთიანებების — კოლხას და დიაოხის — ისტორიის საკითხები. მისი ნაშრომები ეხება საქართველოს ძველი ისტორიისა და ფეოდალური ხანის მრავალ კარდინალურ პრობლემას და ძველი წინა აზიისა და კავკასიის უძველესი კლასობრივი საზოგადოებების (მათ შორის საქართველოს) სოციალურ-ეკონომიკური წყობის და კლასობრივ საზოგადოებათა ტიპოლოგიური და სტადიალური კლასიფიკაციის საკითხებს. 1966 წლიდან გიორგი მელიქიშვილი მეცნიერების დამსახურებული მოღვაწეა. 1976 წელს გახდა ივანე ჯავახიშვილის სახელობის პრემიის ლაურეატი. 1982 წელს მიიღო საქართველოს სსრ სახელმწიფო პრემია. დაჯილდოებულია საპატიო და შრომის წითელი დროშის ორდენით. მისი ბიოგრაფია შეტანილია ცნობარში The international who’s who (London, 1960 წლიდან). გარდაიცვალა 2002 წელს.